sabato 29 dicembre 2012

Leporeambo politico, non tecnico, acrostico alfabetico

A un professore pieno di sé
(-anti, -enti, -inti, -onti)

Manovre oscure e prelati importanti,
Agende piene di bei proponimenti,
Rinascono Fini e trombati eccellenti,
Idoletto di Marchionne e furfanti.

Ogni giorno dei risultati ti vanti,
Ma non ci prendere per deficienti:
O le pensioni o le tasse sui denti
Niente crescita, sol lacrime e pianti.

Tra i tuoi democristiani convinti,
Innamorati del pareggio dei conti
Anche allegri banchieri distinti,

Miracolati da regali ed acconti
E ‘l lavoro e l’impresa hai estinti:
Non più ci freghi, o Mario Monti.

giovedì 27 dicembre 2012

La quadratura del quadrato (con poesia oulipiana)

La quadratura del quadrato consiste nel tassellare un quadrato il cui lato è un numero intero con altri quadrati di lato intero. Il nome al problema fu dato da William Tutte (1917-2002) per analogia scherzosa con quello della quadratura del cerchio. Senza altre condizioni, la quadratura del quadrato è un compito relativamente semplice. Se tuttavia si richiede che la quadratura sia perfetta, allora le dimensioni dei quadrati più piccoli devono essere tutte diverse e il problema è assai più complicato. Solo nel 1982 si è potuto dimostrare che il quadrato di lato 112 della figura è il più piccolo quadrato quadrato perfetto. 


Il primo riferimento alla dissezione di quadrati in quadrati fu fatto dall’inglese Henry Dudeney, uno dei primi grandi esperti di matematica ricreativa. Nella rivista Strand del gennaio 1902 comparve infatti il rompicapo Lady Isabel's Casket (Lo scrigno di Lady Isabel), che riguardava la dissezione di un quadrato in quadrati di diversa dimensione e in un rettangolo. Il quesito fu poi pubblicato in volume da Dudeney in The Canterbury Puzzles (1907, al n. 40): 


La giovane parente e pupilla di Sir Hugh, Lady Isabel de Fitzarnulph, possiede uno scrigno il cui coperchio è perfettamente quadrato. Esso è intarsiato con tessere di legno e una striscia d’oro, lunga 10 pollici e larga un quarto di pollice. Tutti i giovani che si recano da Sir Hugh per chiedere la mano di Lady Isabel devono risolvere il problema di suddividere il quadrato, a parte la striscia d’oro, in un certo numero di quadrati perfetti, tutti di dimensioni diverse. Solo un giovane riesce dove in molti hanno fallito prima di lui. Ecco la soluzione: 


Il topologo e geometra tedesco Max Dehn si era invece occupato del problema della quadratura del rettangolo, in un articolo pubblicato sui Mathematische Annalen del settembre 1903. Dehn dimostrò che: 
- Un rettangolo può essere suddiviso in quadrati se e solo se i suoi lati sono commensurabili. 
- Se un rettangolo può essere suddiviso in quadrati, allora esistono infiniti modi perfetti (con quadrati di dimensioni tutte diverse). 
Il termine commensurabile significa in proporzione razionale, con entrambi i numeri interi che hanno un sottomultiplo comune. 


Un altro grande matematico ricreativo, Sam Loyd, fu il primo a proporre un quesito di quadratura del quadrato, The Darktown Patch Quilt Puzzle (Il rompicapo della trapunta a pezze di Darktown), che fu pubblicato su Cyclopedia of Puzzles nel 1914 dal figlio dopo la sua morte. Una trapunta quadrata fatta da 12 x 12 pezze quadrate della stessa dimensione deve essere divisa nel più piccolo numero possibile di in 11 pezze quadrate tagliando lungo i lati dei quadrati esistenti. Esistono due possibili soluzioni con 11 quadrati, ma  la quadratura non è semplice né perfetta. 


Nel 1925 il problema della quadratura fu affrontato dal polacco Zbigniew Moroń nell’articolo O Rozkladach Prostokatow Na Kwadraty (Sulla dissezione di un rettangolo in quadrati), nel quale fornì i primi esempi di rettangoli divisi in quadrati diversi, senza tuttavia fornire la procedura di costruzione. Il rettangolo I, di dimensioni 33 x 32 è suddiviso in 9 quadrati, mentre il rettangolo II, di lati 65 x 47, è diviso in 10 quadrati. Più tardi avrebbe raccontato che in quel periodo trovò altri risultati su questo argomento, provando che è impossibile costruire un rettangolo con meno di 9 quadrati diversi. Sostenne anche di essere riuscito a ottenere la prima quadratura perfetta di un quadrato, anni prima che fosse nota la prima soluzione “ufficiale”.


Moroń notò che aggiungendo un quadrato con lo stesso lato a ciascun lato del rettangolo, esso può essere ingrandito indefinitamente. Il matematico americano Pasquale Joseph Federico in seguito avrebbe scoperto che, continuando la procedura per lati alterni, i quadrati corrispondono alla sequenza di Fibonacci e pertanto il rapporto dei lati in questa sequenza infinita si avvicina a phi, il numero aureo. 


Un posto a parte nella vicenda è occupato dal giapponese Michio Abe. Pur lavorando da solo, egli conosceva la scarsa letteratura pubblicata sull'argomento e riuscì nel 1930 a tassellare più di 600 rettangoli perfetti. In un articolo in inglese del 1931 egli dimostrò che si può costruire una serie infinita di rettangoli perfetti composti partendo da un singolo rettangolo perfetto nel quale il rapporto tra i lati si avvicina al limite di 1, ad esempio di dimensioni 191 x 195. Dopo questa pubblicazione, Abe sparì nel nulla. 

Il problema fu affrontato infine da un gruppo di dottorandi in matematica all'Università di Cambridge nel triennio 1936-39. I quattro, Rowland Leonard Brooks, Cedric Smith, Arthur Stone e William Tutte, adottarono un metodo assai originale per i tempi, trasformando la tassellatura quadrata in un circuito elettrico equivalente (che chiamarono diagramma di Smith), considerando i quadrati come resistenze collegate a quelle vicine ad entrambe le estremità, quindi applicarono al circuito le leggi di Kirkhoff e le tecniche di decomposizione circuitale. 

L’analogia con le reti circuitali merita un piccolo approfondimento, per il quale mi avvalgo della testimonianza di William Tutte, che si trova nel dettagliato articolo Squaring the Square pubblicato da Martin Gardner in More Mathematical Puzzles and Diversions (1961). Dopo aver adottato un metodo algebrico, che consentiva di costruire un numero considerevole di rettangoli perfetti, Brooks, Smith, Stone e Tutte abbandonarono questo approccio un po’ empirico in favore di uno più teorico. Smith propose allora un diagramma per rappresentare i rettangoli perfetti come circuiti elettrici. La figura mostra un rettangolo perfetto con a fianco il suo diagramma di Smith. Ogni segmento orizzontale nel disegno è rappresentato nel diagramma da un punto, o “nodo“. Nel diagramma di Smith ogni nodo giace su una proiezione (a destra) del segmento orizzontale corrispondente nel rettangolo. 


Ogni quadrato componente del rettangolo è delimitato sopra e sotto da due dei segmenti orizzontali. Di conseguenza esso è rappresentato da una linea o “filo” che unisce i due nodi corrispondenti. Immaginiamo che una corrente fluisca in ciascun filo. L’intensità della corrente è numericamente uguale al lato del quadrato corrispondente, e il suo verso va dal nodo che rappresenta il valore più basso a quello più alto. Si può immaginare che i due lati orizzontali del rettangolo corrispondano ai poli negativo e positivo di una corrente fatta fluire nel circuito. 

Così concepito, il circuito rappresentato dal diagramma di Smith rispetta le leggi di Kirkhoff per il flusso in una rete circuitale, purché si consideri ogni filo un’unità di resistenza. La prima legge di Kirkhoff afferma che, eccetto che ai poli, la somma algebrica delle correnti che fluiscono verso ogni nodo è zero (la somma delle correnti in entrata è uguale alla somma delle correnti in uscita). Ciò corrisponde al fatto che la somma dei lati dei quadrati posti al di sotto di un dato segmento orizzontale è uguale alla somma dei lati dei quadrati posti al di sopra dello stesso segmento, naturalmente con l’esclusione dei due lati orizzontali del rettangolo. La seconda legge dice che la somma algebrica delle tensioni lungo una linea chiusa (con il segno appropriato in funzione del verso di percorrenza della maglia stessa) è pari a zero. La corrente totale che entra nella rete al polo positivo e esce a quello negativo corrisponde al lato orizzontale del rettangolo, mentre la differenza di potenziale tra i due poli è uguale al lato verticale. 

La scoperta di questa analogia elettrica fu importante perché consentì di collegare il problema della quadratura a una teoria fisico-matematica ben stabilita. Era possibile ottenere e prendere a prestito dalla teoria delle reti elettriche delle formule per le correnti in un diagramma di Smith, e per le dimensioni dei corrispondenti quadrati componenti. Il principale risultato di questa operazione fu la possibilità di calcolare un valore dalla struttura del sistema senza alcun riferimento a quali particolari nodi erano scelti come poli. I quattro chiamarono questo valore complessità della rete. Se si scelgono le unità di misura per il rettangolo corrispondente in modo che il lato orizzontale sia uguale alla complessità, allora i lati dei quadrati componenti sono tutti numeri interi. Inoltre il lato verticale è uguale alla complessità di un’altra rete ottenuta dalla prima identificando i due poli. 


Il diagramma di Smith semplificò la procedura per produrre e classificare i rettangoli con quadratura perfetta. I quattro matematici avevano classificato i rettangoli secondo il loro “ordine”, vale a dire il numero di quadrati che li componevano. Si scoprì così che non esistono rettangoli perfetti fino all'ottavo ordine, e solo due del nono. Ce ne erano 6 del decimo ordine e 22 dell’undicesimo. Si scoprì anche che esistevano rettangoli con lati uguali che davano origine a due diverse scomposizioni, che potevano essere ridotte a una applicando opportune simmetrie. La ricerca proseguì e finalmente il gruppo di Cambridge riuscì a ottenere la quadratura di un quadrato, prima di sessantanovesimo, poi di trentanovesimo e infine di ventiseiesimo ordine, come risultato della fusione di due rettangoli perfetti. Alla fine del 1939 la teoria della quadratura del quadrato era finalmente stabilita e avrebbe dato notevoli frutti nei decenni successivi. 

L’articolo che firmarono alla fine della loro ricerca, The Dissection of Rectangles into Squares (Duke Mathematical Journal, dicembre 1940), coinvolgeva una vasta gamma di discipline matematiche, dalla teoria delle reti elettriche ai grafi planari, dalla teoria dei numeri a quella delle matrici, dalla funzione determinante agli operatori rotore e divergenza, ecc. I loro principali risultati possono essere così sintetizzati:
- Ogni rettangolo quadrato possiede lati ed elementi commensurabili; 
- Ogni rettangolo con lati commensurabili è perfettibile in infiniti modi diversi; 
- Non esistono rettangoli perfetti di ordine inferiore a 9; 
- Scoperta del quadrato perfetto semplice di ordine 39 e del quadrato perfetto composto di ordine 26; 
- Generalizzazioni del problema: rettangoli rettangolati, cilindri e tori quadrati, triangoli equitriangolati e la prova che non è possibile cubare i cubi. 

Nel frattempo, procedendo con metodi prettamente empirici, il tedesco Roland Sprague (1894-1967). aveva trovato la prima soluzione del problema della quadratura del quadrato, pubblicandola su Mathematische Zeitschrift (1939), qualche mese prima di Brooks, Smith, Stone e Tutte. Sprague aveva costruito la soluzione utilizzando diverse copie di varie grandezze dei rettangoli I e II di Moroń, di un terzo rettangolo perfetto di dodicesimo ordine e di altri cinque rettangoli di base, creando un quadrato composto di ordine 55, con il lato di 4205 unità. 


A questo punto l’articolo sarebbe finito, se i meriti di Tutte (e compagni, e anche del rompicapo di Henry Dudeney) non fossero stati riconosciuti dal matematico e scrittore dell’Oulipo Jacques Roubaud, che, nel gennaio di quest’anno, ha pubblicato sul meritorio sito francese Images des Mathématiques del CNRS una sestina lirica (che egli chiama mongine in onore di Gaspard Monge) dal titolo Tutte. La struttura della poesia, molto di fantasia, si basa sulla permutazione di sei parole-rima che si scambiano di posto nelle sei strofe dell’opera. Sfortunatamente, l’opera, il cui originale si trova al link qui sopra, è intraducibile, perché contiene omofonie e giochi di parole tipici del francese. La mia traduzione, assai zoppicante, è un tentativo di far conoscere al lettore italiano questa ennesima contaminazione matematico-letteraria. 

Tutte

Lady Isabel de Fitzarnulph era bella 
Così bella che sua padre la voleva sistemare 
Egli fece battere il tamburo e da ogni lato 
Annunciare che colui che riusciva con quadrati 
Tutti diversi a coprire il suo scrigno d’oro (perfetto 
Quadrato) aveva sua figlia. Tale fu il problema 

II 
Posto ai pretendenti; terribile problema 
Diciamolo; tanto più che ciascuno dei quadrati 
Che sulla superficie si dovevano sistemare 
Avevano (allora la soluzione era bella) 
Un numero intero di pollici per misura del lato, 
Lo scrigno contandone sei cento otto. Perfetto 

III 
Rompicapo. Forse insolubile. Perfetto, 
Troppo? Sir Hugh voleva la sua graziosa e bella 
Bambina serbare per sempre? Quadrati 
Piani ipocriti, allora. La scelta di questo problema 
Lo assicurava che non l’avrebbe dovuta sistemare 
E che lei sarebbe rimasta per sempre al suo lato? 

IV 
Dall’Irlanda, Galles, Scozia e da ogni lato 
D’Inghilterra essi giungono, affrontano il problema 
Giovani, vecchi, grandi, piccoli, per aver la bella, 
Si spremono le meningi, Invano. Fiasco perfetto. 
Ne resta uno. “E tu, Tutte?” “Tutti i miei quadrati 
Vanno bene, my Lord!” Non resta che lor sistemare. 

Tutte viveva con sua mamma, e doversi sistemare 
Non cambiava nulla per lui. Con un accordo perfetto 
Vissero tutti tre (senza alcun problema). 
La sera contemplava sua moglie, a suo lato 
L’ineguale armonia della soluzione bella 
Posta sulla scrivania con i tutti i suoi quadrati. 

VI 
Un giorno, uscito Tutte, sua madre, i quadrati
(Erano ventisei, di differente lato) 
Spostò, facendo le pulizie. Eppure l’ordine perfetto 
Regnava quando rientrò, perché, per poterli sistemare,
Lei aveva risolto in altro modo il problema!
È vera la storia? Non lo so, però è bella!



lunedì 24 dicembre 2012

Accidenti al Natale

Noi blogger compulsivi odiamo le feste perché calano i contatti.


Be', in ogni caso, auguri a tutti!


mercoledì 19 dicembre 2012

Tre novissime rime matematiche

Leporeambo della retta nel piano cartesiano

Giace nel piano una retta
 che per natura tira diritta
e, per statuto della ditta,
almeno un asse intercetta.

E se gli va, alla suddetta,
di variare, zitta zitta,
come y si mette ritta,
con verticale siluetta.

O se invece poi s’è rotta
come x lei s’acquatta,
coricata volpacchiotta.

Ma una retta non è matta,
non si estrae dalla lotta:
all'equazione lei s’adatta.



Matematica e monumenti antichi

Lavorano da tempo ai beni culturali
alcune stimate equazioni differenziali:
studiano la diffusione
dei fenomeni di corrosione
con le derivate seconde parziali.



Il vettore precario

Un vettore assegnista dell’Università
lavora sempre con grande intensità:
la sua Direzione
valuterà l’applicazione
e del suo futuro il verso orienterà.



mercoledì 12 dicembre 2012

Mazzacurati contro la matematica

A torto si ritiene che la libertà di pensiero sia una conquista recente, almeno per il mondo occidentale. Essa è invece stata sempre presente nell'uomo, anche se, di volta in volta, ha dovuto combattere contro nemici potenti e crudeli: la religione, la dittatura, l’ignoranza. Oggi la libertà di pensiero deve combattere contro un nemico diventato meno visibile e identificabile, sfuggente e pertanto assai pericoloso: il conformismo, moltiplicato dai mezzi di comunicazione di massa e dagli esperti di pubblicità, marketing e propaganda. Da questo punto di vista, il pensiero ribelle o semplicemente eterodosso ha vissuto la sua epoca d’oro non dopo la seconda guerra mondiale o negli anni della contestazione (dove a un conformismo se ne opposero altri), ma nell'epoca a cavallo tra Ottocento e Novecento, quando l’intellettuale, libero da vincoli materiali, o ad essi indifferente, poteva liberare tutto il suo potenziale creativo per indicare agli uomini nuove possibili strade, nuove utopie, provocazioni artistiche o di costume, persino una certa dose di sapiente idiozia, o di imbecillità inconsciamente penetrante. 

Così, nell'epoca di Alfred Jarry e della patafisica, di Sorel, del socialismo e dell’anarchia, della scienza che scopriva nuove dimensioni e geometrie diverse, della nascita dell’arte astratta, visse un pensatore che è ora di rimuovere dall'oblio in cui l’hanno rinchiuso il tempo e le sue stesse idee. Si tratta di Gelindo Mario Mazzacurati (1871-1914), nobiluomo e filosofo nato e vissuto a Russi (RA), curiosamente lo stesso luogo natale del misterioso scrittore Elia Spallanzani. Dopo la laurea in Filosofia presso l’Alma Mater e una breve esperienza di insegnamento in un liceo bolognese, il Nostro si ritirò nella sua tenuta dedicandosi solo all'agricoltura e al pensiero. 

Mazzacurati pubblicò a proprie spese nel dicembre 1912, proprio cent’anni fa, un libello dal contenuto assai bizzarro, in cui esponeva l’idea che la matematica, ovvero la scienza quantitativa, è il principale errore dell’umanità. Ateo, lettore distratto di Marx e di pensatori teosofici e gnostici come Helena Blavatsky e Fabre des Essarts, egli vedeva nella matematica l'edificio costruito dagli uomini colti, che per lui corrispondevano a quelli ricchi, per assoggettare il popolo ignorante. Egli auspicava una scienza della qualità e non della quantità, scivolando, da socialista quale si riteneva, verso le posizioni di un certo esoterismo allora di moda. 

L’opera aveva il significativo titolo di Contro la matematica (1912). In una quarantina di pagine, Mazzacurati sosteneva che la scienza non è più sapienza da quando ha smesso di cercare l’essenza delle cose per ridursi a pura misura, puro calcolo quantitativo: 

L’essenza della velocità si prova, direi si vive, su una locomotiva lanciata a bomba contro l’ingiustizia sociale, non certo pensandola come un rapporto tra due altre grandezze. 

All’origine della separazione tra scienza ed essenza c’è un distacco ancor più doloroso, quello che ha infranto la solidarietà sociale per creare lo sfruttamento dell’uomo sull'uomo. La classe dominante ha fatto del numero uno degli strumenti per perpetuare il suo dominio. 

Senza la proprietà privata non sarebbe nata la misura dei terreni, quindi la geometria. Senza la conta delle sue pecore da parte del pastore non sarebbe nata l’aritmetica. La matematica è scienza borghese e reazionaria per eccellenza e il popolo istintivamente la rifiuta. 

Tutto l’edificio matematico costruito sin dai tempi della Grecia classica è pertanto un imbroglio perpetrato dal ricco contro il povero, dal dotto contro l’ignorante: 

 Il punto e la retta sono inesistenti in natura, pure astrazioni di menti folli per impedire l’osservazione partecipata della realtà così come è. Euclide era un criminale. 

Se la Terra è rotonda e i progetti delle case si fanno su un piano, logicamente quelle case prima o poi crolleranno. L’errore di Euclide è stato quello di considerare la realtà piatta come le sue idee. 

Invece di costruire quadrati sui cateti e sull'ipotenusa, Archimede [sic] avrebbe fatto bene ad andare a lavorare nella bottega di un fabbro, per provare il sapore salato del proprio sudore sulle labbra.

Non è certo studiando questa matematica, questa scienza, che lo sfruttato potrà affrancarsi da una schiavitù che è più morale che materiale, di cui soffre persino il suo sfruttatore. Anche quest’ultimo è vittima dell’imbroglio millenario perpetrato dai suoi avi e vive talmente immerso nella sua costruzione artificiale da non poter più essere in grado di cogliere la realtà essenziale. Chi conta e chi misura si separa dall'oggetto che vuole conoscere, rinunciando all'osservazione partecipata della natura. L’astrazione tipica della matematica non è lontana dall'alienazione dell’uomo di fronte al suo proprio lavoro di cui parlava Marx: 

Astrarre vuol dire portare verso gli astri, dimenticando che noi viviamo sulla Terra, con i piedi piantati su terra e roccia, le uniche cose che ci sorreggono. Lasciamo che degli astri si occupino gli astronomi: quaggiù abbiamo il problema di nutrirci, coprirci e avere un tetto. 

Che cosa deve fare dunque l’uomo di fronte alla sofferenza che nasce dalla separazione tra lui e le cose? Per Mazzacurati bisogna smettere di pensare in termini quantitativi, distruggere la matematica e tornare alla solidarietà primordiale, alla vera e propria qualità che è l’essenza della conoscenza e della felicità: 

Isidoro di Siviglia diceva che la parola numero deriva da “nummus”, il denaro. Si tratta di un’etimologia fantasiosa, ma che rende l’idea di come il numero sia la causa prima della mercificazione delle nostre vite. 

Come si può raggiungere tale stato? Non certo attraverso la via democratica. Il potere degli sfruttatori e del numero è troppo pervasivo per poter essere abbattuto con il confronto delle idee, anche perché: 

Le elezioni borghesi presumono una conta, cioè un imbroglio. I numeri non sono in grado di esprimere la qualità delle idee. 

Contro la matematica si conclude perciò con un appello rivoluzionario in forma di poesia: 

Compagni dai campi 
E dalle officine 
Prendete la falce 
E portate il martello, 
Spaccate il compasso: 
È tutto un tranello. 
A morte le cifre, 
uccidete il teorema. 

Non sappiamo quante copie di Contro la matematica furono stampate, né quante circolarono effettivamente. Forse la Grande Guerra e i grandi fatti storici che le succedettero accelerarono il suo oblio. Di certo il suo pensiero merita di essere rivalutato.

domenica 9 dicembre 2012

Giornata del silenzio


Qualcuno ha detto che oggi è la giornata del silenzio e che è sempre meglio stare zitti che parlare a vanvera e io non posso che essere d’accordo, però almeno vorrei che mi si spiegasse che cosa vuol dire vanvera, che sembra una papera olandese. Il silenzio è d’oro dice un proverbio, e io non posso che essere d’accordo, però questo modo di pensare è confuso e certe volte sembra una cosa di omertà, quella cosa che i mafiosi non parlano e fanno i malandrini, che non è che sia una gran bella idea. Se uno ruba e poi non lo dice, gli diamo anche la medaglia? Forse, per non dare tutto questo valore, che poi uno ci fa gli affari suoi, bisognerebbe dire che il silenzio è d’argento, o magari di qualche sostanza meno preziosa ma sempre stimata, come che so il gelato gusto stracciatella o la playstation. A scuola abbiamo letto che un bel tacer non fu mai scritto e io non posso che essere d’accordo, perché non è mica un’impresa semplice scrivere che cosa dice uno che tace: forse una frase tutta di acca, che è una lettera muta? Oppure bisognerebbe saper leggere nel pensiero e scrivere ciò che pensa quello che sta zitto, anche se non lo vuole dirlo o non può dirlo perché gli hanno tagliato la lingua. Insomma, questa cosa di scrivere il silenzio mi sembra una idea intelligente, anche se la frase che abbiamo letto a scuola è di un grande poeta. Sul libro di storia c’è anche la figura di un manifesto della guerra mondiale dove c’è scritto taci che il nemico t’ascolta, e io non posso che essere d’accordo, ma questa cosa va bene se sai che c’è un nemico in giro, o almeno lo sospetti. E se il nemico si nasconde così bene che tu non sai che c’è ma lui c’è, magari sotto il letto o c’ha un microfono che ha nascosto dietro un quadro? Allora uno non dovrebbe parlare più, oppure solo scrivere, e tanti bambini mica lo possono fare, se non sono ancora andati a scuola, e poi ci sono anche i grandi che non sanno leggere e scrivere, perché a scuola sono andati tanto tempo fa e si sono dimenticati tutto e allora dovrebbero tornare tra i banchi, ecco perché si chiama analfabetismo di ritorno. Però uno grande a fare l’alunno in una classe non ce lo vedo, che poi o lui fa il bullo o gli altri lo prendono in giro. Questa storia del nemico che t’ascolta non mi piace per niente. Insomma questa giornata del silenzio è una gran bella cosa, e io non posso che essere d’accordo. Per questo motivo oggi sto zitto. Certo che però mi chiedo come fa oggi che è domenica il prete a dire la messa: con il linguaggio dei sordi, con la lingua italiana (o spagnola, o polacca) dei segni? E la insegnano nei seminari? E come fanno i fedeli a rispondere e a pregare? Quando devono dire il padrenostro come fanno, così: hmhm hmhm hm hm hm hmhm, hm hmhmhmhmhm hm hm hm, hmhm hm hm hmhm, eccetera, eccetera? Boh! Comunque io oggi ho detto che non parlo e sto muto come un pesce. E chissà se i pesci hanno la giornata del parlare, che magari quel giorno il mare e i fiumi e i laghi sono pieni di bolle perché sotto sono tutti a dirsi le cose che non si sono detti per un anno. Boh. Comunque sto zitto. Shhh!

sabato 8 dicembre 2012

Il Teorema vivente di Cédric Villani

Attribuire un’etichetta a un libro come Théorème Vivant del matematico francese Cédric Villani non è facile. Si può infatti considerare un diario personale e professionale, che copre due anni di intensa ricerca culminati con il ricevimento della Medaglia Fields (la massima onorificenza per matematici di età inferiore ai quarant'anni), vissuti tra la Francia e gli Stati Uniti, con puntate in molti altri posti in tutto il mondo. Si può anche definirlo il racconto di un’impresa matematica (la dimostrazione non lineare dello smorzamento di Landau) e di come essa sia nata, si sia sviluppata attraverso difficoltà, entusiasmi, delusioni, incontri, problemi quotidiani, notti insonni, improvvise intuizioni, e un continuo lavoro di collaborazione fino al risultato finale. E Théorème Vivant è anche una cronaca epistolare, attraverso la riproduzione dello scambio di e-mail tra l’autore e il suo collega Clément Mouhot, con il quale ha raggiunto l’obiettivo e ha pubblicato l’articolo scientifico. 

Il libro è soprattutto la cronaca della nascita di una nuova dimostrazione matematica, che ha suggerito il titolo di Teorema vivente. Villani si è occupato in precedenza dell’equazione di Boltzmann, che fu argomento della sua tesi di dottorato: 

"Si trova di tutto nell’equazione di Boltzmann: la fisica statistica, la freccia del tempo, la meccanica dei fluidi, la teoria delle probabilità, la teoria dell’informazione, l’analisi di Fourier… Alcuni dicono che nessuno al mondo conosce meglio di me il mondo matematico generato da questa equazione.” (pp. 10-11) 

Egli è anche un esperto di trasporto ottimale, lo studio di come trasferire una distribuzione di massa da un luogo a un altro con il minor lavoro possibile (consiglio su questo argomento un articolo divulgativo di Alessio Figalli). Questo problema fu formalizzato per la prima volta da Gaspard Monge del 1781 (e Gaspard è il nome del computer di Villani a Lione) e fu sviluppato dal matematico ed economista russo Kantorovich intorno agli anni ’40. L’interesse per il trasporto ottimale nella comunità dell’analisi matematica si sviluppò soprattutto grazie ai lavori di Yann Brenier, il quale, alla fine degli anni ’80, stava studiando problemi legati alla meccanica dei fluidi e si trovò di fronte ad aspetti che lo portarono (in modo abbastanza inatteso) al problema di Monge-Kantorovich. Negli ultimi vent'anni si è scoperto che c’è una stretta relazione tra entropia, trasporto ottimale ed equazione del calore di un gas, che può essere studiata come una sorta di evoluzione che fa aumentare l’entropia nel modo più veloce possibile senza spendere troppa energia cinetica. Villani, del quale Brenier è stato relatore di tesi tutor all'École Normale Supérieure di Parigi, si è occupato del problema del trasporto ottimale nell'ambito della geometria non euclidea, scoprendo che, a seconda della variazione di entropia, è possibile stabilire il tipo di curvatura dello spazio, con importanti applicazioni in geometria. 

L’interesse di Villani sullo smorzamento di Landau si sviluppa quasi casualmente nel corso di una conversazione con Mouhot sulla regolarità del trasporto in un’equazione di Boltzmann disomogenea, che li porta a discutere del lavoro del giovane matematico sino-americano Yan Guo. Inizia così una lunga avventura intellettuale, descritta con dovizia di particolari, che può essere considerata un esempio di come procede la ricerca matematica, fatta di duro lavoro: 

“Tarda sera nel mio appartamento di Princeton, seduto per terra sulla moquette, circondato da fogli di appunti, davanti alla grande vetrata attraverso la quale i bambini, di giorno, osservano gli scoiattoli grigi. Rifletto e scarabocchio senza dir nulla.” (p. 73) 

(…) È il momento propizio per mettermi al lavoro. Preparo un thè, stendo i miei appunti. Ancora una montagna di problemi tecnici, che si stanno risolvendo man mano assieme a Clément. La parte più grande della dimostrazione, la sezione 10, è in corso di costruzione. C’è questo maledetto controllo del modo zero, ne ero sicuro, che mi avrebbe fatto dannare. E devo esporre i risultati tra dieci giorni! Dieci piccoli giorni perché tutto stia in piedi.” (p. 129) 

Fatta anche di sconforto e delusioni: 

“Buio! Ho bisogno di oscurità, di restare da solo nel buio. La camera dei bambini, imposte chiuse, benissimo. La regolarizzazione. Lo schema di Newton. Le costanti esponenziali. Tutto mi gira in testa. (…) Ho bisogno di lavorare da solo per riflettere. C’è fretta! (…) Un certo calcolo, sul quale facevo pieno affidamento, non va più bene, dovevo sbagliarmi. Grave oppure no?” (p. 91) 

“È sera. Apro la posta elettronica. Ho un balzo al cuore: un messaggio che arriva da Acta Mathematica, una rivista di ricerca matematica che in molti considerano la più prestigiosa di tutte. È là che io e Clément abbiamo presentato per la pubblicazione il nostro mostro di 180 pagine. Di sicuro la rivista mi scrive su questo argomento. Ma… l’abbiamo inviato meno di quattro mesi fa! Tenuto conto della lunghezza del manoscritto, è troppo poco perché i referenti abbiano espresso il loro parere e gli editori abbiano preso una decisione positiva. Una sola spiegazione: la rivista scrive per comunicare che l’articolo è stato rifiutato.” (p. 209) 

E di intuizioni improvvise, come in questa citazione di André Weil: 

“Ogni matematico degno di questo nome ha provato, anche se solo qualche volta, lo stato di lucida esaltazione nel quale un pensiero succede a un altro come per miracolo… Contrariamente al piacere sessuale, questa sensazione può durare per diverse ore, o persino diversi giorni.” (p. 135) 

O come quando Villani scopre come migliorare i punti oscuri che sono costati il rifiuto della rivista: 

“È l’illuminazione, là, con la mia matita, sul letto. Mi alzo e vado su e giù furiosamente per la camera, con gli appunti in mano, lo sguardo fisso sulle formule cabalistiche. Il destino dell’articolo si è appena ribaltato un’altra volta. Questa volta non si tratta di riparare un errore, ma di migliorare i risultati.” 

La vicenda raccontata nelle pagine di Théorème vivant si conclude con la pubblicazione dell’articolo definitivo su Acta Mathematica, 207, 1 (2011) 29-201, e con il conferimento a Villani della Medaglia Fields durante il Congresso Internazionale dei Matematici (ICM), tenutosi a Hyderabad in India nell'agosto 2010, per i suoi studi sull'equazione di Boltzmann, sul trasporto ottimale e sullo “smorzamento di Landau per l’equazione di Vlasov-Poisson”. 

Se non pare abbastanza, nel libro si ritrovano anche una buona divulgazione della matematica contemporanea, con le biografie di alcuni tra i suoi esponenti più eminenti (bellissimi i ricordi di John Nash e di Carlo Cercignani), la spiegazione di alcune delle sue conquiste, la storia di alcuni prestigiosi centri di ricerca. Sfogliando il libro prima di leggerlo si può rimanere intimoriti dalle pagine di formule e di dimostrazioni che sono intercalate nel racconto: esse sono fondamentali per il matematico che desidera seguire il percorso intellettuale e tecnico di Villani, ma possono essere considerate dal lettore non specialista delle misteriose illustrazioni senza che la comprensione generale del testo ne venga guastata. 

Insomma, un libro del genere lo poteva scrivere solo un personaggio geniale, poliedrico, originale come Cédric Villani, che ha voluto, proprio nella complicata e multiforme struttura del testo, far conoscere alcuni degli aspetti della sua personalità, parlandoci persino della sua passione per i manga e per la musica, del suo amore per la famiglia, riportando fiabe raccontate ai figli e descrivendo piccole vicende domestiche, Nelle pagine del libro fa solo capolino la rockstar della matematica come ogni tanto egli stesso ama descriversi ai media, ammaliati dal suo abbigliamento eccentrico, con abiti da dandy, cravatta a fiocco e spilla a forma di ragno. In fondo, anche un grande matematico è figlio del suo tempo, compresa una certa dose di egocentrismo. 

Cédric Villani 
Théorème vivant 
Ed. Grasset, Paris, 2012 
pp. 282 
Prezzo in Francia: 19 € 

(le traduzioni dal francese sono mie: abbiate comprensione)

domenica 2 dicembre 2012

Matematica dei plasmi e smorzamento di Landau (senza formule!)


I sistemi strutturati hanno energie di legame maggiori che l’energia termica dell’ambiente. Posti in ambienti sufficientemente caldi, essi si decompongono, così i cristalli fondono e le molecole si dissociano. A temperature corrispondenti o superiori alle energie di ionizzazione atomiche, anche gli atomi incominciano a decomporsi in elettroni carichi negativamente e ioni carichi positivamente. Queste particelle cariche sono lontane dalla situazione di un gas perfetto, in cui le particelle interagiscono solo attraverso urti meccanici. Esse non sono affatto libere, perché sono influenzate reciprocamente dai loro campi elettromagnetici. Dal momento che le cariche non sono più legate, il loro insieme diventa capace di moti collettivi di grande intensità e complessità. A questo insieme di particelle cariche si dà il nome di plasma. La complessità in un plasma è caratterizzata grandemente dall'eccitazione di una enorme varietà di comportamenti dinamici collettivi e deve essere espressa sia temporalmente sia spazialmente

Un plasma e talvolta definito come un gas che è sufficientemente ionizzato da mostrare cariche libere. Tale comportamento risulta dopo che anche una piccola frazione del gas è stata ionizzata. Così, i gas ionizzati anche in piccola parte mostrano la maggior parte dei fenomeni singolari caratteristici dei gas completamente ionizzati. 

I plasmi che risultano dalla ionizzazione di gas elettricamente neutri contengono generalmente un numero uguale di portatori di carica negativi e positivi. In questa situazione, i fluidi con carica opposta sono fortemente attirati tra loro, e tendono a neutralizzarsi su scala macroscopica, ricombinandosi. Questi plasmi, chiamati, quasi-neutri, mostrano piccole deviazioni dalla esatta neutralità, che hanno importanti conseguenze dinamiche per certi tipi di configurazioni. Esistono anche plasmi fortemente non-neutri, che possono contenere persino cariche di un solo segno. Il loro equilibrio dipende dall'esistenza di intensi campi magnetici, intorno ai quali ruota il fluido carico elettricamente. 

È evidente che lo studio del comportamento dei plasmi comporta un numero molto grande di variabili e può essere affrontato solo attraverso una modellizzazione (che è una semplificazione della realtà). Il gran numero di particelle e la loro diversa distribuzione consigliano una trattazione statistica, il loro movimento coinvolge la teoria cinetica dei gas, la loro carica elettrica non può prescindere da una trattazione secondo le leggi dell’elettrostatica e dell’elettrodinamica. Esiste una serie di dipendenze reciproche tra questi approcci che fa sì che la matematica delle leggi dei plasmi sia tuttora in una fase di ricerca avanzata e appassionante, che utilizza gli strumenti più aggiornati della disciplina. E naturalmente tutto dipende da che cosa si cerca e da quali parametri di ingresso si assumono. 

Lo studio matematico del comportamento dei plasmi produsse nel 1938 la cosiddetta equazione di Vlasov, che prende il nome dal fisico teorico russo Anatoli Vlasov (1908-1975). Vlasov dimostrò che l’equazione di Boltzmann, che descrive il trasporto di grandezze all'interno di un fluido lontano dall'equilibrio termodinamico, non può descrivere la dinamica di un plasma, a causa dell’esistenza di interazioni collettive a lungo raggio, come ad esempio quella di Coulomb tra particelle cariche. Associando l’equazione di Boltzmann alle equazioni di Maxwell, Vlasov ottenne un sistema di equazioni differenziali, ben poste a patto che si scelgano opportunamente le condizioni iniziali e quelle al contorno

Uno dei fenomeni più esotici rilevati all'interno di un plasma è il cosiddetto smorzamento di Landau, che prende il nome dal suo scopritore, il fisico russo Lev Landau (1908-1968), uno dei più grandi fisici del Novecento e premio Nobel nel 1962, che lo descrisse in un articolo del 1946 (qui la versione in inglese). Landau, che non stimava Vlasov, al punto di giudicare errati quasi tutti i suoi contributi, sostenne che quando un campo elettrico attraversa un plasma, le sue oscillazioni longitudinali subiscono uno smorzamento (diminuzione esponenziale in funzione del tempo), che corrisponde a un trasferimento di energia tra l’onda elettromagnetica e un certo numero di elettroni presenti nel plasma. Questo fenomeno impedisce lo sviluppo dell’instabilità e crea una regione di stabilità nello spazio parametrico. Le forze elettriche si attenuano spontaneamente nel tempo, e, contrariamente a quanto previsto dall'equazione di Boltzmann e da quella di Vlasov, l’entropia rimane costante, il disordine non aumenta

Lo smorzamento di Landau è dovuto allo scambio di energia tra un’onda con velocità di fase υph e una particella nel plasma la cui velocità è approssimativamente uguale a υph. Le particelle la cui velocità è leggermente inferiore alla velocità di fase dell’onda sono accelerate dal campo elettrico per raggiungere la velocità di fase. Al contrario, le particelle con velocità leggermente superiore alla velocità di fase dell’onda sono decelerate, cedendo una parte della loro energia all'onda. 


In un plasma in cui gli effetti quantistici sono trascurabili, dove le velocità sono distribuite come una funzione statistica del numero di particelle e dell’energia che possiedono, il numero di particelle la cui velocità è leggermente inferiore alla velocità di fase dell’onda è più grande del numero di particelle la cui velocità è leggermente superiore. Per questo motivo, ci sono più particelle che acquistano energia dall'onda di quante ne cedono. Di conseguenza, l’onda complessivamente cede energia e si smorza, eppure l’energia ceduta al sistema non contribuisce all'aumento della sua entropia. 


L’articolo originale di Landau si basava su un complicato calcolo lineare. Ora, con l'algebra lineare si studiano completamente tutti i fenomeni fisici in cui intuitivamente non entrano in gioco distorsioni, turbolenze e fenomeni caotici in generale. Anche se nel frattempo era stata sviluppata una teoria matematica lineare quasi completa del fenomeno, la questione di superare lo studio lineare è rimasta aperta per decenni, producendo come solo risultato non lineare una classe di soluzioni smorzate esponenzialmente per l’equazione di Vlasov-Poisson, che è un’approssimazione del sistema di Vlasov nel caso di un campo relativistico zero-magnetico. 

Una trattazione non lineare convincente (un teorema!) dello smorzamento di Landau ha dovuto attendere fino a quando nel 2008 ha incominciato ad occuparsene Cédric Villani con il suo collaboratore Clément Mouhot, ma di ciò parlerò prossimamente, perché c’è anche da recensire un libro…